mathématiques (première) · Chapitre 4 · Exercice de TD

Le coût de production de q objets (en centaines) est C(q) = q³ - 6q² +…

Dérivation · Calculs de dérivées et premières applications · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Le coût de production de $q$ objets (en centaines) est $C (q) = q^{3} - 6 q^{2} + 15 q$ (en milliers d'euros), pour $q \in [0; 6]$ .

Calculer le coût marginal $C^{'} (q)$ , puis $C^{'} (2)$ . Interpréter.
Vérifier que $C^{'} (q) > 0$ pour tout $q$ ; que peut-on en conjecturer sur $C$ ? (Réponse au chapitre 5.)

Corrigé de la question 1

1. $C^{'} (q) = 3 q^{2} - 12 q + 15$ ; $C^{'} (2) = 12 - 24 + 15 = 3$ : autour de $200$ objets produits, une centaine supplémentaire coûte environ $3000$ €.

Question 2 : comment l'IA t'aide

2. Vérifier que $C^{'} (q) > 0$ pour tout $q$ ; que peut-on en conjecturer sur $C$ ? (Réponse au chapitre 5.)

Élève

Pour la question 2, je dois montrer que $C^{'} (q) > 0$ pour tout $q$ . Mais $C^{'} (q) = 3 q^{2} - 12 q + 15$ , ce n'est pas évident à voir directement.

Tu as bien identifié l'expression à étudier. C'est un trinôme du second degré : quelle méthode du cours permet de connaître son signe sur tout un intervalle ?

Élève

On peut calculer le discriminant ? Ici $b = - 12$ et $a = 3$ , $c = 15$ ...

Oui, c'est la bonne piste. Écris le calcul de $Δ = b^{2} - 4 a c$ avec ces valeurs : quel signe obtiens-tu, et qu'est-ce que cela t'apprend sur les racines du trinôme ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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