Montrer, par l'approximation affine en 0, que pour x proche de 0 et n…

Exercice supplémentaire · niveau 3 (difficile) · mathématiques (première), chapitre 4 — Dérivation · Approximation affine et position par rapport aux tangentes

Énoncé

Montrer, par l'approximation affine en $0$ , que pour $x$ proche de $0$ et $n$ entier naturel, $(1 + x)^{n} \approx 1 + n x$ . Appliquer à $1, 0 2^{10}$ et comparer à la valeur exacte. Pour quelles valeurs de $x$ l'approximation reste-t-elle acceptable à $1 %$ près lorsque $n = 10$ ?

Corrigé

Posons $f (x) = (1 + x)^{n}$ . Alors $f (0) = 1$ et, d'après la dérivée de $x \mapsto x^{n}$ appliquée à $1 + x$ , $f^{'} (0) = n$ . L'approximation affine en $0$ s'écrit donc

$(1 + x)^{n} \approx f (0) + x f^{'} (0) = 1 + n x .$

Application. Pour $x = 0, 02$ et $n = 10$ : $1, 0 2^{10} \approx 1 + 0, 2 = 1, 2$ , alors que la valeur exacte vaut $1, 218994 \dots$ L'erreur relative est d'environ $1, 6 %$ : l'approximation est déjà nettement dégradée. Seuil de $1 %$ . En tabulant l'écart relatif $\frac{( 1 + x ) ^{10} - ( 1 + 10 x )}{( 1 + x ) ^{10}}$ :

$x$	$0, 010$	$0, 014$	$0, 015$	$0, 016$
écart relatif	$0, 42 %$	$0, 80 %$	$0, 91 %$	$1, 03 %$

L'approximation reste acceptable à $1 %$ près tant que $∣ x ∣ ≲ 0, 015$ . L'ordre de grandeur à retenir : le terme négligé est de l'ordre de $\frac{n ( n - 1 )}{2} x^{2}$ , ici $45 x^{2}$ . L'exiger inférieur à $1 %$ donne $x^{2} < \frac{0 , 01}{45}$ , soit $∣ x ∣ < 0, 015$ — ce que le tableau confirme.

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