Montrer qu'aucune tangente à l'hyperbole d'équation y = 1/x ne passe…

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques (première), chapitre 4 — Dérivation · Tangentes

Énoncé

Montrer qu'aucune tangente à l'hyperbole d'équation $y = \frac{1}{x}$ ne passe par l'origine du repère. (Écrire l'équation de la tangente au point d'abscisse $a \neq = 0$ , puis traduire « passe par $O (0; 0)$ ».)

Corrigé

Posons $f (x) = \frac{1}{x}$ sur $R^{*}$ ; alors $f^{'} (x) = - \frac{1}{x ^{2}}$ . La tangente au point d'abscisse $a \neq = 0$ a pour équation

$y = - \frac{1}{a ^{2}} (x - a) + \frac{1}{a} = - \frac{x}{a ^{2}} + \frac{1}{a} + \frac{1}{a} = - \frac{x}{a ^{2}} + \frac{2}{a} .$

Cette droite passe par l'origine si et seulement si $y = 0$ pour $x = 0$ , c'est-à-dire

$\frac{2}{a} = 0,$

équation sans solution : un quotient de numérateur non nul ne s'annule jamais. Aucune tangente à l'hyperbole ne passe donc par $O$ . Contrôle géométrique : la tangente en $(a; \frac{1}{a})$ coupe les axes en $(2 a; 0)$ et $(0; \frac{2}{a})$ ; le point de contact est le milieu de ce segment, qui n'est jamais réduit à un point.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.