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Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (première), chapitre 4 — Dérivation · Calculs de dérivées et applications

Énoncé

Dériver et simplifier : (a) $f (x) = (x^{2} + 1) (3 x - 2)$ ; (b) $g (x) = \frac{2 x - 5}{x + 4}$ sur $] - 4; + \infty [$ ; (c) $h (x) = \frac{x}{x ^{2} + 4}$ ; (d) $k (x) = x (x - 6)$ sur $] 0; + \infty [$ .

Corrigé

(a) Formule du produit avec $u = x^{2} + 1$ et $v = 3 x - 2$ :

$f^{'} (x) = 2 x (3 x - 2) + (x^{2} + 1) \times 3 = 6 x^{2} - 4 x + 3 x^{2} + 3 = 9 x^{2} - 4 x + 3.$

(b) Formule du quotient avec $u = 2 x - 5$ et $v = x + 4$ :

$g^{'} (x) = \frac{2 ( x + 4 ) - ( 2 x - 5 ) \times 1}{( x + 4 ) ^{2}} = \frac{2 x + 8 - 2 x + 5}{( x + 4 ) ^{2}} = \frac{13}{( x + 4 ) ^{2}} .$

La dérivée est strictement positive : $g$ est croissante sur $] - 4; + \infty [$ . (c) Avec $u = x$ et $v = x^{2} + 4$ :

$h^{'} (x) = \frac{1 \times ( x ^{2} + 4 ) - x \times 2 x}{( x ^{2} + 4 ) ^{2}} = \frac{4 - x ^{2}}{( x ^{2} + 4 ) ^{2}} .$

(d) $k (x) = x (x - 6)$ , donc par la formule du produit

$k^{'} (x) = \frac{1}{2 x} (x - 6) + x = \frac{x - 6 + 2 x}{2 x} = \frac{3 x - 6}{2 x} = \frac{3 ( x - 2 )}{2 x} .$

Contrôle numérique sur (d) : en $x = 2, 3$ , le taux d'accroissement de $k$ sur un petit intervalle centré vaut $0, 2967$ , et la formule donne $\frac{3 \times 0 , 3}{2 2 , 3} = 0, 2967$ . ✓

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