Soit f(x) = x² - x. Déterminer les équations des tangentes à sa courbe…

Exercice d'entraînement · niveau 1 (application) · mathématiques (première), chapitre 4 — Dérivation · Tangentes

Énoncé

Soit $f (x) = x^{2} - x$ . Déterminer les équations des tangentes à sa courbe aux points d'abscisses $- 1$ et $2$ , puis vérifier que ces deux droites se coupent en un point dont on donnera les coordonnées.

Corrigé

$f^{'} (x) = 2 x - 1$ . En $- 1$ : $f (- 1) = 1 + 1 = 2$ et $f^{'} (- 1) = - 3$ , d'où

$T_{- 1} : y = - 3 (x + 1) + 2 = - 3 x - 1.$

En $2$ : $f (2) = 4 - 2 = 2$ et $f^{'} (2) = 3$ , d'où

$T_{2} : y = 3 (x - 2) + 2 = 3 x - 4.$

Intersection. $- 3 x - 1 = 3 x - 4$ donne $6 x = 3$ , soit $x = \frac{1}{2}$ et $y = 3 \times \frac{1}{2} - 4 = - \frac{5}{2}$ . Les deux tangentes se coupent au point $(\frac{1}{2}; - \frac{5}{2})$ . Contrôle : $- 3 \times \frac{1}{2} - 1 = - \frac{5}{2}$ également. ✓ À remarquer : l'abscisse $\frac{1}{2}$ du point d'intersection est la moyenne des deux abscisses $- 1$ et $2$ , et c'est aussi celle du sommet de la parabole. Cette propriété vaut pour toute parabole.

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