Soit f(x) = x |x|. Exprimer f sans valeur absolue selon le signe de x…

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques (première), chapitre 4 — Dérivation · Calculs de dérivées et premières applications

Énoncé

Soit $f (x) = x ∣ x ∣$ . Exprimer $f$ sans valeur absolue selon le signe de $x$ , calculer $f^{'} (x)$ pour $x \neq = 0$ , puis étudier la dérivabilité de $f$ en $0$ . Comparer avec $x \mapsto ∣ x ∣$ .

Corrigé

$f (x) = x^{2}$ si $x \geq 0$ et $f (x) = - x^{2}$ si $x < 0$ ; donc $f^{'} (x) = 2 x$ pour $x > 0$ et $f^{'} (x) = - 2 x$ pour $x < 0$ (soit $f^{'} (x) = 2∣ x ∣$ ). En $0$ : le taux $\frac{h ∣ h ∣}{h} = ∣ h ∣$ tend vers $0$ : $f$ est dérivable en $0$ avec $f^{'} (0) = 0$ — contrairement à $∣ x ∣$ , le « V » a été lissé par le facteur $x$ .

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