Un mobile parcourt mètres en secondes

Exercice d'entraînement · niveau 1 (application) · mathématiques (première), chapitre 4 — Dérivation · Taux de variation et nombre dérivé

Énoncé

Un mobile parcourt $d (t) = 2 t^{2} + 3 t$ mètres en $t$ secondes.

Calculer sa vitesse moyenne entre $t = 0$ et $t = 3$ .
Calculer $d^{'} (t)$ , puis sa vitesse instantanée à $t = 3$ . Comparer.

Corrigé

1. $d (0) = 0$ et $d (3) = 18 + 9 = 27$ : la vitesse moyenne vaut

$\frac{d ( 3 ) - d ( 0 )}{3 - 0} = \frac{27}{3} = 9 m \cdot s^{- 1} .$

2. $d^{'} (t) = 4 t + 3$ , donc $d^{'} (3) = 15 m \cdot s^{- 1}$ . La vitesse instantanée à $t = 3$ est nettement supérieure à la vitesse moyenne sur $[0; 3]$ : le mobile accélère, il va donc plus vite à la fin de l'intervalle qu'en moyenne sur celui-ci. Contrôle : $d^{'} (0) = 3$ et $d^{'} (3) = 15$ ; la moyenne de ces deux vitesses vaut $9$ , exactement la vitesse moyenne — ce n'est pas un hasard, la vitesse est ici une fonction affine du temps.

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