Un mobile se déplace sur un axe gradué

Dérivation · Calculs de dérivées et premières applications · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Un mobile se déplace sur un axe gradué : sa position (en mètres) à l'instant $t$ (en secondes) est $x (t) = t^{3} - 6 t^{2} + 9 t$ pour $t \in [0; 5]$ .

La vitesse instantanée est $v (t) = x^{'} (t)$ . Calculer $v (t)$ , puis $v (0)$ , $v (2)$ et $v (4)$ .
À quels instants la vitesse s'annule-t-elle ? Que fait alors le mobile ?
L'accélération est $a (t) = v^{'} (t)$ . Calculer $a (t)$ et l'instant où elle s'annule ; interpréter.

Corrigé

1. $v (t) = 3 t^{2} - 12 t + 9 = 3 (t - 1) (t - 3)$ (somme $4$ , produit $3$ ). Donc $v (0) = 9$ m/s, $v (2) = 12 - 24 + 9 = - 3$ m/s et $v (4) = 48 - 48 + 9 = 9$ m/s.

2. $v (t) = 0$ pour $t = 1$ s et $t = 3$ s. En ces instants le mobile s'arrête un instant : la vitesse y change de signe, donc il change de sens de parcours (il avance, recule, puis avance de nouveau).

3. $a (t) = 6 t - 12$ , nulle en $t = 2$ s. Avant, $a < 0$ : la vitesse diminue ; après, $a > 0$ : elle augmente. L'instant $t = 2$ est donc celui où la vitesse est minimale, et elle vaut $v (2) = - 3$ m/s (le mobile recule alors le plus vite).

Contrôle : $x (1) = 1 - 6 + 9 = 4$ , $x (3) = 27 - 54 + 27 = 0$ et $x (5) = 20$ : le mobile avance jusqu'à $4$ m, revient à l'origine, puis repart — deux changements de sens, conformes aux deux annulations de $v$ . ✓