D'une plaque rectangulaire de 10 cm sur 16 cm, on découpe aux quatre…

Variations et courbes représentatives des fonctions · Extremums et optimisation · niveau 2

Énoncé

D'une plaque rectangulaire de $10$ cm sur $16$ cm, on découpe aux quatre coins des carrés de côté $x$ , puis on plie les bords pour obtenir une boîte sans couvercle.

Exprimer le volume $V (x)$ et préciser l'intervalle d'étude.
Calculer $V^{'} (x)$ , déterminer la valeur de $x$ qui maximise le volume, et donner ce volume maximal.

Corrigé

1. La base mesure $(10 - 2 x)$ sur $(16 - 2 x)$ et la hauteur vaut $x$ :

$V (x) = x (10 - 2 x) (16 - 2 x) = 4 x^{3} - 52 x^{2} + 160 x, x \in] 0; 5 [$

(il faut $10 - 2 x > 0$ , soit $x < 5$ ).

2. $V^{'} (x) = 12 x^{2} - 104 x + 160 = 4 (3 x^{2} - 26 x + 40)$ . Discriminant : $Δ = 676 - 480 = 196 = 1 4^{2}$ , d'où les racines

$x = \frac{26 - 14}{6} = 2 et x = \frac{26 + 14}{6} = \frac{20}{3} \approx 6, 67.$

Seule $x = 2$ appartient à $] 0; 5 [$ ; comme le coefficient dominant de $3 x^{2} - 26 x + 40$ est positif, $V^{'}$ est positive avant $2$ et négative après (sur l'intervalle d'étude). Le volume est donc maximal pour $x = 2$ cm et vaut

$V (2) = 2 \times 6 \times 12 = 144 cm^{3} .$

Contrôle : $V (1) = 1 \times 8 \times 14 = 112$ et $V (3) = 3 \times 4 \times 10 = 120$ : tous deux inférieurs à $144$ . ✓