Dans une plaque carrée de côté 20 cm, on découpe aux quatre coins des…

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (première), chapitre 5 — Variations et courbes représentatives des fonctions · Problèmes d'optimisation

Énoncé

Dans une plaque carrée de côté $20$ cm, on découpe aux quatre coins des carrés de côté $x$ , puis on plie pour obtenir une boîte sans couvercle. Déterminer $x$ rendant le volume maximal, ainsi que ce volume (arrondi au cm $^{3}$ ).

Corrigé

Après découpe et pliage, la boîte a pour base un carré de côté $20 - 2 x$ et pour hauteur $x$ . Son volume vaut donc

$V (x) = x (20 - 2 x)^{2}, x \in] 0; 10 [.$

En dérivant comme un produit :

$V^{'} (x) = (20 - 2 x)^{2} + x \times 2 (20 - 2 x) \times (- 2) = (20 - 2 x) [(20 - 2 x) - 4 x] = (20 - 2 x) (20 - 6 x) .$

Sur $] 0; 10 [$ , le facteur $20 - 2 x$ est strictement positif : $V^{'}$ est du signe de $20 - 6 x$ , positive pour $x < \frac{10}{3}$ et négative au-delà. Le volume est donc maximal en

$x = \frac{10}{3} \approx 3, 33 cm, V (\frac{10}{3}) = \frac{10}{3} \times (\frac{40}{3})^{2} = \frac{16 000}{27} \approx 593 cm^{3} .$

Contrôle : $V (3) = 3 \times 1 4^{2} = 588$ et $V (3, 5) = 3, 5 \times 1 3^{2} = 591, 5$ , tous deux inférieurs à $593$ . ✓

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.