Étudier la position relative de la courbe d'équation y = x³ et de la…

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (première), chapitre 5 — Variations et courbes représentatives des fonctions · Inégalités, positions relatives et algorithme

Énoncé

Étudier la position relative de la courbe d'équation $y = x^{3}$ et de la droite d'équation $y = x$ . Préciser les points d'intersection.

Corrigé

On étudie le signe de la différence $d (x) = x^{3} - x$ , qui se factorise :

$d (x) = x (x^{2} - 1) = x (x - 1) (x + 1) .$

$x$	$- \infty$		$- 1$		$0$		$1$		$+ \infty$
$d (x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

Conclusion : la courbe $y = x^{3}$ est au-dessous de la droite $y = x$ sur $] - \infty; - 1 [$ et sur $] 0; 1 [$ , et au-dessus sur $] - 1; 0 [$ et sur $] 1; + \infty [$ . Les points d'intersection sont $(- 1; - 1)$ , $(0; 0)$ et $(1; 1)$ . Contrôle : en $x = 0, 5$ , $x^{3} = 0, 125 < 0, 5$ ✓ ; en $x = 2$ , $x^{3} = 8 > 2$ . ✓

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