Étudier les variations de sur et dresser son tableau de variations

Exercice d'entraînement · niveau 1 (application) · mathématiques (première), chapitre 5 — Variations et courbes représentatives des fonctions · Variations et extremums

Énoncé

Étudier les variations de $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 1$ sur $R$ et dresser son tableau de variations. Préciser les extremums locaux.

Corrigé

$f$ est dérivable sur $R$ et

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9 = 3 (x^{2} - 4 x + 3) = 3 (x - 1) (x - 3) .$

Le coefficient dominant étant positif, $f^{'}$ est positive à l'extérieur de $[1; 3]$ et négative entre les racines. De plus $f (1) = 1 - 6 + 9 + 1 = 5$ et $f (3) = 27 - 54 + 27 + 1 = 1$ .

$x$	$- \infty$		$1$		$3$		$+ \infty$
$f^{'} (x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f$		$↗$	$5$	$↘$	$1$	$↗$

$f$ admet un maximum local $5$ en $x = 1$ et un minimum local $1$ en $x = 3$ . Local, et non global : $f$ prend des valeurs bien supérieures à $5$ pour $x$ grand, et bien inférieures à $1$ pour $x$ très négatif.

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