Étudier les variations de sur et dresser son tableau de variations

Exercice d'entraînement · niveau 1 (application) · mathématiques (première), chapitre 5 — Variations et courbes représentatives des fonctions · Variations et extremums

Énoncé

Étudier les variations de $g (x) = - 2 x^{3} + 3 x^{2} + 12 x$ sur $R$ et dresser son tableau de variations.

Corrigé

$g$ est dérivable sur $R$ et

$g^{'} (x) = - 6 x^{2} + 6 x + 12 = - 6 (x^{2} - x - 2) = - 6 (x - 2) (x + 1) .$

Le coefficient dominant de $g^{'}$ étant négatif, $g^{'}$ est positive entre les racines $- 1$ et $2$ , négative à l'extérieur. De plus $g (- 1) = 2 + 3 - 12 = - 7$ et $g (2) = - 16 + 12 + 24 = 20$ .

$x$	$- \infty$		$- 1$		$2$		$+ \infty$
$g^{'} (x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$g$		$↘$	$- 7$	$↗$	$20$	$↘$

Minimum local $- 7$ en $x = - 1$ , maximum local $20$ en $x = 2$ . Piège : oublier que le signe de $- 6 (x - 2) (x + 1)$ est l'opposé de celui de $(x - 2) (x + 1)$ . Le tableau se lit alors à l'envers.

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