La fonction admet-elle des extremums locaux

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques (première), chapitre 5 — Variations et courbes représentatives des fonctions · Variations et extremums

Énoncé

La fonction $f (x) = x^{4} - 4 x^{3}$ admet-elle des extremums locaux ? (Attention au piège en $0$ .)

Corrigé

$f^{'} (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} = 4 x^{2} (x - 3)$ . La dérivée s'annule en $0$ et en $3$ . En $0$ , le facteur $4 x^{2}$ est positif des deux côtés : $f^{'}$ ne change pas de signe (négative avant et après, tant que $x < 3$ ) — pas d'extremum en $0$ , la courbe ne fait qu'un « palier ». En $3$ , $f^{'}$ passe du négatif au positif : minimum local $f (3) = 81 - 108 = - 27$ (qui est même global).

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