On applique la méthode de Newton à en partant de

Application directe du cours · niveau 2 · mathématiques (première), chapitre 5 — Variations et courbes représentatives des fonctions · Positions relatives et méthode de Newton

Énoncé

On applique la méthode de Newton à $f (x) = x^{2} - 5$ en partant de $x_{0} = 2$ .

Écrire la relation de récurrence donnant $x_{n + 1}$ en fonction de $x_{n}$ , puis la simplifier.
Calculer $x_{1}$ et $x_{2}$ (six décimales) et comparer à $5 \approx 2, 236068$ .

Corrigé

1. $f^{'} (x) = 2 x$ , donc

$x_{n + 1} = x_{n} - \frac{x _{n}^{2} - 5}{2 x _{n}} = \frac{2 x _{n}^{2} - x _{n}^{2} + 5}{2 x _{n}} = \frac{x _{n}^{2} + 5}{2 x _{n}} .$

2. $x_{1} = \frac{4 + 5}{4} = 2, 25$ ; puis $x_{2} = \frac{2 , 2 5 ^{2} + 5}{2 \times 2 , 25} = \frac{10 , 0625}{4 , 5} \approx 2, 236111$ . Deux itérations donnent déjà quatre décimales exactes de $5$ .

Contrôle : on reconnaît la récurrence de Héron $x_{n + 1} = \frac{1}{2} (x_{n} + \frac{5}{x _{n}})$ (chapitre 2) — c'est la même suite.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.