On applique la méthode de Newton à pour approcher

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mathématiques (première), chapitre 5 — Variations et courbes représentatives des fonctions · Inégalités, positions relatives et méthode de Newton

Énoncé

On applique la méthode de Newton à $f (x) = x^{3} - 7$ pour approcher $37$ .

Écrire la relation de récurrence $x_{n + 1}$ en fonction de $x_{n}$ .
Partant de $x_{0} = 2$ , calculer $x_{1}$ puis $x_{2}$ (quatre décimales). Comparer à $37 \approx 1, 9129$ .

Corrigé

1. $f^{'} (x) = 3 x^{2}$ , donc $x_{n + 1} = x_{n} - \frac{x _{n}^{3} - 7}{3 x _{n}^{2}} = \frac{2 x _{n}^{3} + 7}{3 x _{n}^{2}}$ .<br> 2. $x_{1} = \frac{16 + 7}{12} = \frac{23}{12} \approx 1, 9167$ ; $x_{2} = \frac{2 \times 1 , 916 7 ^{3} + 7}{3 \times 1 , 916 7 ^{2}} \approx 1, 9129$ : deux itérations suffisent pour quatre décimales exactes.

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