mathématiques (première) · Chapitre 5 · Exercice de TD

On applique la méthode de Newton à pour approcher

Variations et courbes représentatives des fonctions · Inégalités, positions relatives et méthode de Newton · niveau 3 (difficile)

Énoncé

On applique la méthode de Newton à $f (x) = x^{3} - 7$ pour approcher $37$ .

Écrire la relation de récurrence $x_{n + 1}$ en fonction de $x_{n}$ .
Partant de $x_{0} = 2$ , calculer $x_{1}$ puis $x_{2}$ (quatre décimales). Comparer à $37 \approx 1, 9129$ .

Corrigé de la question 1

1. $f^{'} (x) = 3 x^{2}$ , donc $x_{n + 1} = x_{n} - \frac{x _{n}^{3} - 7}{3 x _{n}^{2}} = \frac{2 x _{n}^{3} + 7}{3 x _{n}^{2}}$ .

Question 2 : comment l'IA t'aide

2. Partant de $x_{0} = 2$ , calculer $x_{1}$ puis $x_{2}$ (quatre décimales). Comparer à $37 \approx 1, 9129$ .

Élève

Pour la question 2, je dois remplacer $x_{0} = 2$ dans la formule de la question 1, c'est bien ça ?

Oui. Tu as deux écritures de $x_{n + 1}$ dans le corrigé : laquelle te paraît la plus rapide à calculer pour $n = 0$ ?

Élève

Celle avec $\frac{2 x _{n}^{3} + 7}{3 x _{n}^{2}}$ ? Avec $x_{0} = 2$ , ça donne $2 \times 8 = 16$ au numérateur et $3 \times 4 = 12$ au dénominateur.

Tu as bien posé les calculs. Termine ce quotient, puis dis-moi comment tu comptes t'y prendre pour passer à $x_{2}$ : quel nombre vas-tu mettre à la place de $x_{n}$ ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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