On veut fabriquer une boîte cylindrique fermée de volume 1 litre (1000…

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mathématiques (première), chapitre 5 — Variations et courbes représentatives des fonctions · Problèmes d'optimisation

Énoncé

On veut fabriquer une boîte cylindrique fermée de volume $1$ litre ( $1000$ cm $^{3}$ ) en minimisant la surface de métal. Exprimer la surface totale $S$ en fonction du rayon $r$ , puis déterminer le rayon optimal (on admettra que le minimum est atteint là où $S^{'} (r) = 0$ ).

Corrigé

Le volume impose $π r^{2} h = 1000$ , donc $h = \frac{1000}{π r ^{2}}$ . Surface totale (deux disques + flanc) :

$S (r) = 2 π r^{2} + 2 π r h = 2 π r^{2} + \frac{2000}{r}, S^{'} (r) = 4 π r - \frac{2000}{r ^{2}} .$

$S^{'} (r) = 0$ donne $r^{3} = \frac{500}{π}$ , soit $r = 3 500/ π \approx 5, 42$ cm (et alors $h = 2 r$ : la boîte optimale est aussi haute que large). $S^{'}$ est négative avant, positive après : c'est bien un minimum, $S \approx 554$ cm $^{2}$ .

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