Soit f(x) = (x² + 1)/x sur ] 0 ; +∞ [. Calculer f'(x), dresser le…

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (première), chapitre 5 — Variations et courbes représentatives des fonctions · Variations et extremums

Énoncé

Soit $f (x) = \frac{x ^{2} + 1}{x}$ sur $] 0; + \infty [$ . Calculer $f^{'} (x)$ , dresser le tableau de variations, et en déduire le minimum de $f$ sur cet intervalle. (Écrire d'abord $f (x) = x + \frac{1}{x}$ : la dérivation est alors immédiate.)

Corrigé

Sur $] 0; + \infty [$ , on écrit d'abord $f (x) = \frac{x ^{2}}{x} + \frac{1}{x} = x + \frac{1}{x}$ , ce qui rend la dérivation immédiate :

$f^{'} (x) = 1 - \frac{1}{x ^{2}} = \frac{x ^{2} - 1}{x ^{2}} = \frac{( x - 1 ) ( x + 1 )}{x ^{2}} .$

Sur $] 0; + \infty [$ , le dénominateur et le facteur $x + 1$ sont positifs : $f^{'}$ est du signe de $x - 1$ .

$x$	$0$		$1$		$+ \infty$
$f^{'} (x)$		$-$	$0$	$+$
$f$		$↘$	$2$	$↗$

Le minimum de $f$ sur $] 0; + \infty [$ vaut donc $f (1) = 2$ , atteint en $x = 1$ . Contrôle : $f (0, 5) = 2, 5$ et $f (2) = 2, 5$ — deux valeurs supérieures à $2$ , de part et d'autre du minimum. ✓

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