Soit f(x) = x + 4/x sur ] 0 ; +∞ [. - Étudier les variations de f et…

1. Sur $\left]0;+\infty \right[$ :

$$f^{\prime }(x)=1-\frac{4}{x^2}=\frac{x^2-4}{x^2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x^2},$$

du signe de $x-2$ puisque $x+2>0$ et $x^2>0$. La fonction décroît sur $\left]0;2\right]$ puis croît sur $\left[2;+\infty \right[$ : elle admet un minimum en $x=2$, égal à

$$f(2)=2+\frac{4}{2}=4.$$

2. Le minimum d'une fonction minore toutes ses valeurs : pour tout $x>0$,

$$x+\frac{4}{x}\ge 4,$$

avec égalité si et seulement si $x=2$ (le minimum n'est atteint qu'en ce point, puisque $f^{\prime }$ ne s'y annule qu'une fois en changeant de signe). Contrôle : $x=1$ donne $5\ge 4$, $x=4$ donne $5\ge 4$, $x=2$ donne l'égalité. ✓ À rapprocher : c'est un cas particulier de l'inégalité $a+b\ge 2\sqrt{ab}$ appliquée à $a=x$ et $b=\frac{4}{x}$, dont le produit vaut $4$.