mathématiques (première) · Chapitre 5 · Exercice de TD

Un éleveur dispose de 60 m de clôture pour un enclos rectangulaire…

Variations et courbes représentatives des fonctions · Problèmes d'optimisation · niveau 2

Énoncé

Un éleveur dispose de $60$ m de clôture pour un enclos rectangulaire adossé à un mur (le mur remplace un des grands côtés). Quelles dimensions maximisent l'aire ?

Corrigé

Notons $x$ la largeur (deux côtés clôturés) : la longueur vaut $60 - 2 x$ , avec $0 < x < 30$ . Aire : $A (x) = x (60 - 2 x) = - 2 x^{2} + 60 x$ ; $A^{'} (x) = - 4 x + 60$ , nulle en $x = 15$ , positive avant, négative après. Aire maximale pour $x = 15$ m : enclos de $15 \times 30$ m, d'aire $450$ m $^{2}$ .

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