mathématiques (première) · Chapitre 5 · Exercice de TD

Une entreprise fabrique centaines d'objets, avec

Variations et courbes représentatives des fonctions · Problèmes d'optimisation · niveau 2

Énoncé

Une entreprise fabrique $x$ centaines d'objets, avec $x \in] 0; 8]$ . Le coût total de production, en milliers d'euros, est $C (x) = x^{3} - 9 x^{2} + 30 x$ , et chaque centaine d'objets est vendue $15$ milliers d'euros.

Exprimer le bénéfice $B (x)$ , puis calculer $B^{'} (x)$ et le factoriser.
Dresser le tableau de variations de $B$ sur $] 0; 8]$ .
Quelle production rend le bénéfice maximal ? Combien vaut ce bénéfice ?

Corrigé de la question 1

1. La recette est $R (x) = 15 x$ , donc

$B (x) = 15 x - (x^{3} - 9 x^{2} + 30 x) = - x^{3} + 9 x^{2} - 15 x,$

$B^{'} (x) = - 3 x^{2} + 18 x - 15 = - 3 (x^{2} - 6 x + 5) = - 3 (x - 1) (x - 5)$

(somme $6$ , produit $5$ : racines $1$ et $5$ ).

Question 2 : comment l'IA t'aide

2. Dresser le tableau de variations de $B$ sur $] 0; 8]$ .

Élève

Pour le tableau, je dois étudier le signe de $B^{'} (x)$ , c'est ça ?

Oui. Tu as déjà la forme factorisée de $B^{'} (x)$ : quel outil du cours permet de connaître le signe d'un produit de facteurs selon les valeurs de $x$ ?

Élève

Un tableau de signes. $x - 1$ est négatif avant 1 et positif après, et $x - 5$ pareil avant et après 5.

Bien. N'oublie pas le facteur $- 3$ devant : quel effet a-t-il sur le signe du produit ? Et que peux-tu dire du signe de $B^{'}$ sur $] 0; 1 [$ une fois ce facteur pris en compte ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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