Une entreprise fabrique centaines d'objets, avec

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques (première), chapitre 5 — Variations et courbes représentatives des fonctions · Problèmes d'optimisation

Énoncé

Une entreprise fabrique $x$ centaines d'objets, avec $x \in] 0; 8]$ . Le coût total de production, en milliers d'euros, est $C (x) = x^{3} - 9 x^{2} + 30 x$ , et chaque centaine d'objets est vendue $15$ milliers d'euros.

Exprimer le bénéfice $B (x)$ , puis calculer $B^{'} (x)$ et le factoriser.
Dresser le tableau de variations de $B$ sur $] 0; 8]$ .
Quelle production rend le bénéfice maximal ? Combien vaut ce bénéfice ?

Corrigé

1. La recette est $R (x) = 15 x$ , donc

$B (x) = 15 x - (x^{3} - 9 x^{2} + 30 x) = - x^{3} + 9 x^{2} - 15 x,$

$B^{'} (x) = - 3 x^{2} + 18 x - 15 = - 3 (x^{2} - 6 x + 5) = - 3 (x - 1) (x - 5)$

(somme $6$ , produit $5$ : racines $1$ et $5$ ).

2. Comme le coefficient dominant de $B^{'}$ est $- 3 < 0$ , $B^{'}$ est négative à l'extérieur de $[1; 5]$ et positive entre :

$x B^{'} (x) B 0 - ↘ 10 - 7 + ↗ 5025 - ↘ 8 - 56$

avec $B (1) = - 1 + 9 - 15 = - 7$ , $B (5) = - 125 + 225 - 75 = 25$ et $B (8) = - 512 + 576 - 120 = - 56$ .

3. Le bénéfice est maximal pour $x = 5$ , soit une production de $500$ objets, et vaut $25$ milliers d'euros, c'est-à-dire $25000$ €.

Contrôle : $B (4) = - 64 + 144 - 60 = 20$ et $B (6) = - 216 + 324 - 90 = 18$ : la valeur $B (5) = 25$ est bien supérieure à celle de ses voisines. ✓ On note au passage que produire trop peu fait perdre de l'argent ( $B < 0$ près de $0$ ) : un maximum n'est pas forcément atteint « au plus grand $x$ possible ».

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.