Après une injection, la concentration d'un médicament dans le sang…

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (première), chapitre 6 — Fonction exponentielle · Modéliser une évolution

Énoncé

Après une injection, la concentration d'un médicament dans le sang vaut $C (t) = 20 e^{- 0, 25 t}$ (en mg $\cdot$ L $^{- 1}$ , $t$ en heures).

Concentration initiale ? Concentration après $4$ heures ( $e^{- 1} \approx 0, 368$ ) ?
Au bout de combien de temps la concentration est-elle divisée par $2$ ( $e^{- 0, 693} \approx 0, 5$ ) ? Puis par $4$ ? (Pour « par $4$ », aucun calcul nouveau n'est nécessaire.)

Corrigé

1. $C (0) = 20$ mg $\cdot$ L $^{- 1}$ . Après $4$ heures : $C (4) = 20 e^{- 0, 25 \times 4} = 20 e^{- 1} \approx 20 \times 0, 368 = 7, 36$ mg $\cdot$ L $^{- 1}$ .

2. On cherche $t$ tel que $e^{- 0, 25 t} = 0, 5$ . Avec $e^{- 0, 693} \approx 0, 5$ : $0, 25 t \approx 0, 693$ , soit $t \approx 2, 77$ heures (environ $2$ h $46$ min).

Pour une division par $4$ , aucun calcul nouveau : $\frac{1}{4} = (\frac{1}{2})^{2}$ , et la décroissance exponentielle divise par $2$ à chaque intervalle de $2, 77$ h. Il faut donc deux fois cette durée, soit $t \approx 5, 55$ heures.

Contrôle : $4$ heures est compris entre $2, 77$ h et $5, 55$ h ; la concentration à $4$ h, $7, 36$ , est bien comprise entre $\frac{20}{4} = 5$ et $\frac{20}{2} = 10$ . ✓

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.