mathématiques (première) · Chapitre 6 · Exercice de TD

Le carbone 14 se désintègre selon avec an

Fonction exponentielle · Modèles continus et méthode d'Euler · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Le carbone 14 se désintègre selon $N (t) = N_{0} e^{- λ t}$ avec $λ = 1, 21 \times 1 0^{- 4}$ an $^{- 1}$ .

Vérifier que la demi-vie (durée au bout de laquelle la moitié des noyaux subsiste) est d'environ $5730$ ans, sachant que $e^{- 0, 693} \approx 0, 5$ .
Un échantillon archéologique ne contient plus que $25 %$ de son carbone 14 initial. Estimer son âge sans calculatrice.

Corrigé

1. On cherche $t$ tel que $e^{- λ t} = 0, 5$ : $λ t \approx 0, 693$ , donc $t \approx \frac{0 , 693}{1 , 21 \times 1 0 ^{- 4}} \approx 5730$ ans.
2. $25 % = (\frac{1}{2})^{2}$ : il s'est écoulé deux demi-vies, soit environ $11460$ ans — le raisonnement géométrique (raison $\frac{1}{2}$ par demi-vie) évite tout calcul.

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