Résoudre dans: (a); (b); (c) — exercice corrigé de maths première (chapitre 6)

Résoudre dans: (a); (b); (c)

Fonction exponentielle · Calcul algébrique et équations · niveau 2

Énoncé

Résoudre dans $R$ : (a) $e^{2 x} - e^{x} \leq 0$ ; (b) $(e^{x} - 1) (e^{x} - e^{2}) > 0$ ; (c) $e^{x^{2}} \geq e^{2 x + 3}$ .

Corrigé

(a) On factorise : $e^{2 x} - e^{x} = e^{x} (e^{x} - 1)$ . Comme $e^{x} > 0$ , l'inéquation équivaut à $e^{x} \leq 1 = e^{0}$ , soit $x \leq 0$ : solutions $] - \infty; 0]$ .

(b) Un produit est strictement positif quand ses deux facteurs sont de même signe. Or $e^{x} - 1 > 0 ⟺ x > 0$ et $e^{x} - e^{2} > 0 ⟺ x > 2$ (stricte croissance). Les deux facteurs sont positifs si $x > 2$ , tous deux négatifs si $x < 0$ . Solutions : $] - \infty; 0 [\cup] 2; + \infty [$ .

(c) La stricte croissance donne $x^{2} \geq 2 x + 3$ , soit $x^{2} - 2 x - 3 \geq 0$ , c'est-à-dire $(x + 1) (x - 3) \geq 0$ (racines $- 1$ et $3$ , coefficient dominant positif) : $x \leq - 1$ ou $x \geq 3$ .

Contrôle : pour $x = 1$ , situé entre les racines, $e^{x^{2}} = e$ et $e^{2 x + 3} = e^{5}$ : l'inégalité est bien fausse là où elle doit l'être.