mathématiques (première) · Chapitre 6 · Application directe du cours

Soit f(x) = (2x - 1) eˣ. Calculer f'(x), étudier son signe, et donner…

Fonction exponentielle · Dérivée et variations · niveau 2

Énoncé

Soit $f (x) = (2 x - 1) e^{x}$ . Calculer $f^{'} (x)$ , étudier son signe, et donner le minimum de $f$ (valeur exacte et approchée).

Corrigé

$f^{'} (x) = 2 e^{x} + (2 x - 1) e^{x} = (2 x + 1) e^{x}$ , du signe de $2 x + 1$ puisque $e^{x} > 0$ .

Donc $f$ décroît sur $] - \infty; - \frac{1}{2}]$ et croît sur $[- \frac{1}{2}; + \infty [$ : son minimum vaut

$f (- \frac{1}{2}) = - 2 e^{- 1/2} \approx - 1, 21.$

Contrôle : $f (0) = - 1$ et $f (- 1) = - 3 e^{- 1} \approx - 1, 10$ sont bien tous deux supérieurs à $- 1, 21$ .

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