Soit f(x) = (x - 1) eˣ. Calculer f'(x), dresser le tableau de…

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (première), chapitre 6 — Fonction exponentielle · Étudier une fonction

Énoncé

Soit $f (x) = (x - 1) e^{x}$ . Calculer $f^{'} (x)$ , dresser le tableau de variations de $f$ et préciser son minimum.

Corrigé

Dérivée d'un produit :

$f^{'} (x) = 1 \times e^{x} + (x - 1) e^{x} = x e^{x} .$

Comme $e^{x} > 0$ , le signe de $f^{'}$ est celui de $x$ : $f$ est strictement décroissante sur $] - \infty; 0]$ , strictement croissante sur $[0; + \infty [$ .

Le minimum est donc $f (0) = (0 - 1) e^{0} = - 1$ , atteint en $x = 0$ .

Contrôle : $f (- 1) = - 2 e^{- 1} \approx - 0, 74$ et $f (1) = 0$ : les deux valeurs sont bien supérieures à $- 1$ .

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