Soit g(x) = x² e⁻ˣ. Calculer g'(x), le factoriser, puis dresser le…

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (première), chapitre 6 — Fonction exponentielle · Étudier une fonction

Énoncé

Soit $g (x) = x^{2} e^{- x}$ . Calculer $g^{'} (x)$ , le factoriser, puis dresser le tableau de variations de $g$ . (La dérivée de $x \mapsto e^{- x}$ vaut $- e^{- x}$ .)

Corrigé

Dérivée d'un produit, avec $(e^{- x})^{'} = - e^{- x}$ :

$g^{'} (x) = 2 x e^{- x} + x^{2} \times (- e^{- x}) = (2 x - x^{2}) e^{- x} = x (2 - x) e^{- x} .$

L'exponentielle est strictement positive : $g^{'}$ a le signe du trinôme $x (2 - x)$ , de racines $0$ et $2$ et de coefficient dominant $- 1 < 0$ — donc positif entre les racines.

Ainsi $g$ décroît sur $] - \infty; 0]$ , croît sur $[0; 2]$ , puis décroît sur $[2; + \infty [$ . Elle admet un minimum local $g (0) = 0$ et un maximum local $g (2) = 4 e^{- 2} \approx 0, 54$ .

Piège : conclure du signe de $g^{'}$ « à l'extérieur des racines » ; ici $a = - 1$ , c'est l'inverse.

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