Un café servi à °C refroidit dans une pièce maintenue à °C

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques (première), chapitre 6 — Fonction exponentielle · Modèles continus et méthode d'Euler

Énoncé

Un café servi à $80$ °C refroidit dans une pièce maintenue à $20$ °C. La loi de refroidissement de Newton donne sa température, en degrés Celsius, après $t$ minutes :

$T (t) = 20 + 60 e^{- 0, 05 t} .$

Vérifier $T (0)$ et expliquer pourquoi la température se rapproche de $20$ °C sans jamais l'atteindre.
Démontrer que $T$ est strictement décroissante.
Calculer la température après $20$ minutes (on donne $e^{- 1} \approx 0, 368$ ).
À quel instant le café est-il à $50$ °C ? (On donne $e^{- 0, 693} \approx 0, 5$ .)

Corrigé

1. $T (0) = 20 + 60 = 80$ °C. Quand $t$ croît, $- 0, 05 t$ décroît et $e^{- 0, 05 t}$ devient aussi proche de $0$ que l'on veut : $T (t)$ se rapproche de $20$ °C. Mais l'exponentielle ne s'annule jamais, donc $T (t) > 20$ pour tout $t$ .

2. $T^{'} (t) = 60 \times (- 0, 05) e^{- 0, 05 t} = - 3 e^{- 0, 05 t} < 0$ : $T$ est strictement décroissante.

3. $T (20) = 20 + 60 e^{- 1} \approx 20 + 22, 1 = 42, 1$ °C.

4. $T (t) = 50 ⟺ 60 e^{- 0, 05 t} = 30 ⟺ e^{- 0, 05 t} = 0, 5$ . Avec $e^{- 0, 693} \approx 0, 5$ : $0, 05 t \approx 0, 693$ , soit $t \approx 13, 9$ minutes.

Contrôle : à cet instant, l'écart à la pièce vaut $30$ °C, soit la moitié de l'écart initial $60$ °C. C'est cohérent avec la question 3 : à $20$ minutes, l'écart ( $22, 1$ °C) est déjà passé sous cette moitié.

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