mathématiques (première) · Chapitre 6 · Exercice d'entraînement

Un capital est placé au taux annuel de

Fonction exponentielle · Modéliser une évolution · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Un capital $C_{0}$ est placé au taux annuel de $4 %$ . On compare le modèle discret $C_{n} = C_{0} \times 1, 0 4^{n}$ (intérêts versés chaque année) et le modèle continu $C (t) = C_{0} e^{0, 04 t}$ .

Comparer les deux capitaux au bout de $10$ ans, sachant $1, 0 4^{10} \approx 1, 4802$ et $e^{0, 4} \approx 1, 4918$ .
Expliquer pourquoi le modèle continu donne toujours le plus grand des deux. (Comparer $1, 04$ et $e^{0, 04}$ à l'aide de l'inégalité $e^{x} \geq 1 + x$ .)

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1. Comparer les deux capitaux au bout de $10$ ans, sachant $1, 0 4^{10} \approx 1, 4802$ et $e^{0, 4} \approx 1, 4918$ .

Élève

Je ne sais pas trop quoi comparer au bout de 10 ans : je remplace $n$ par 10 dans quelle formule ?

Il y a deux modèles, donc deux formules à évaluer en $10$ ans. Regarde l'énoncé : quelle expression donne le capital avec le modèle discret, et quelle expression le donne avec le modèle continu ?

Élève

Pour le discret, ce serait $C_{10} = C_{0} \times 1, 0 4^{10}$ . Pour le continu, $C (10) = C_{0} e^{0, 04 \times 10}$ .

C'est bien cela. Maintenant, quelles valeurs approchées l'énoncé te fournit-il pour ces deux puissances, et que peux-tu en faire pour comparer les deux capitaux ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. Le corrigé de cet exercice n'est pas publié : à toi de continuer.

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