Un capital est placé au taux annuel de

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques (première), chapitre 6 — Fonction exponentielle · Modéliser une évolution

Énoncé

Un capital $C_{0}$ est placé au taux annuel de $4 %$ . On compare le modèle discret $C_{n} = C_{0} \times 1, 0 4^{n}$ (intérêts versés chaque année) et le modèle continu $C (t) = C_{0} e^{0, 04 t}$ .

Comparer les deux capitaux au bout de $10$ ans, sachant $1, 0 4^{10} \approx 1, 4802$ et $e^{0, 4} \approx 1, 4918$ .
Expliquer pourquoi le modèle continu donne toujours le plus grand des deux. (Comparer $1, 04$ et $e^{0, 04}$ à l'aide de l'inégalité $e^{x} \geq 1 + x$ .)

Corrigé

1. Au bout de $10$ ans : modèle discret $C_{10} = C_{0} \times 1, 0 4^{10} \approx 1, 4802 C_{0}$ ; modèle continu $C (10) = C_{0} e^{0, 4} \approx 1, 4918 C_{0}$ . Le second l'emporte, d'environ $0, 8 %$ du capital.

2. L'inégalité $e^{x} \geq 1 + x$ , stricte dès que $x \neq = 0$ , donne

$e^{0, 04} > 1 + 0, 04 = 1, 04 (en fait e^{0, 04} \approx 1, 0408) .$

Or $C (n) = C_{0} (e^{0, 04})^{n}$ et $C_{n} = C_{0} \times 1, 0 4^{n}$ : on compare deux puissances de même exposant, la plus grande base l'emportant. Donc $C (n) > C_{n}$ pour tout entier $n \geq 1$ , et l'écart se creuse avec $n$ .

Interprétation : capitaliser les intérêts en continu rapporte davantage que les verser une fois l'an — le taux continu $4 %$ correspond à un taux annuel effectif de $4, 08 %$ .

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