Une culture bactérienne double d'effectif toutes les heures

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques (première), chapitre 6 — Fonction exponentielle · Modèles continus et méthode d'Euler

Énoncé

Une culture bactérienne double d'effectif toutes les $3$ heures. Elle compte $1 0^{4}$ bactéries à $t = 0$ .

Justifier que l'effectif aux instants $0, 3, 6, 9, \dots$ heures forme une suite géométrique ; en donner la raison.
Le modèle continu est $N (t) = 1 0^{4} e^{k t}$ ( $t$ en heures). Déterminer $k$ pour que $N (3) = 2 \times 1 0^{4}$ , sachant que $e^{0, 231} \approx 1, 26$ et $e^{0, 693} \approx 2$ .
Estimer l'effectif après $24$ heures.

Corrigé

1. À chaque période de $3$ h, l'effectif est multiplié par $2$ : suite géométrique de raison $2$ .<br> 2. $e^{3 k} = 2$ : avec $e^{0, 693} \approx 2$ , on lit $3 k \approx 0, 693$ , soit $k \approx 0, 231$ h $^{- 1}$ .<br> 3. $24$ h $= 8$ périodes de doublement : $N (24) = 1 0^{4} \times 2^{8} = 2, 56 \times 1 0^{6}$ bactéries.

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