Déduire de la duplication les formules de linéarisation puis calculer…

Linéarisation. On repart des deux écritures de la duplication :

$$\cos (2x)=2{\cos }^{2}x-1⟹{\cos }^{2}x=\frac{1+\cos (2x)}{2},$$

$$\cos (2x)=1-2{\sin }^{2}x⟹{\sin }^{2}x=\frac{1-\cos (2x)}{2}.$$

Valeur de ${\cos }^2\frac{\pi }{8}$. Avec $x=\frac{\pi }{8}$, on a $2x=\frac{\pi }{4}$ :

$${\cos }^2\frac{\pi }{8}=\frac{1+\cos \frac{\pi }{4}}{2}=\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}=\frac{2+\sqrt{2}}{4}.$$

Valeur de $\cos \frac{\pi }{8}$. Comme $\frac{\pi }{8}$ appartient au premier quadrant, son cosinus est positif :

$$\cos \frac{\pi }{8}=\sqrt{\frac{2+\sqrt{2}}{4}}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}.$$

Contrôle : $\sqrt{2+1,414}=\sqrt{3,414}\approx 1,848$, donc $\cos \frac{\pi }{8}\approx 0,924$ ; et $\cos 22,5°\approx 0,924$. ✓

Piège : écrire $\cos \frac{\pi }{8}=\pm \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$ sans trancher. Passer du carré à la valeur exige toujours de justifier le signe par le quadrant.