Démontrer les formules de duplication puis calculer sachant que

Duplication. Il suffit de faire $b=a$ dans les formules d'addition :

$$\cos (2a)=\cos (a+a)=\cos a\cos a-\sin a\sin a={\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a,$$

$$\sin (2a)=\sin (a+a)=\sin a\cos a+\cos a\sin a=2\sin a\cos a.$$

Les deux autres écritures de $\cos (2a)$ s'obtiennent en éliminant tour à tour ${\sin }^{2}a$ puis ${\cos }^{2}a$ grâce à ${\cos }^{2}a+{\sin }^{2}a=1$ :

$$\cos (2a)={\cos }^{2}a-\left(1-{\cos }^{2}a\right)=2{\cos }^{2}a-1,\cos (2a)=\left(1-{\sin }^{2}a\right)-{\sin }^{2}a=1-2{\sin }^{2}a.$$

Application. Avec $\sin a=\frac{1}{3}$, la troisième écriture est la plus économique — elle n'exige pas de connaître $\cos a$ ni son signe :

$$\cos (2a)=1-2\times \frac{1}{9}=\frac{7}{9}.$$

Ce qu'il faut voir : choisir la bonne des trois formes évite un calcul inutile et une discussion de signe. C'est le seul enjeu de la question.