En écrivant, calculer les valeurs exactes de et

Avec $a=\frac{\pi }{3}$ et $b=\frac{\pi }{4}$ :

$$\cos \frac{\pi }{12}=\cos \frac{\pi }{3}\cos \frac{\pi }{4}+\sin \frac{\pi }{3}\sin \frac{\pi }{4}=\frac{1}{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4},$$

$$\sin \frac{\pi }{12}=\sin \frac{\pi }{3}\cos \frac{\pi }{4}-\cos \frac{\pi }{3}\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}.$$

Contrôle à la calculatrice : $\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}\approx \frac{1,414+2,449}{4}\approx 0,966$ et $\cos 15°\approx 0,966$ ; $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\approx 0,259$ et $\sin 15°\approx 0,259$. ✓

Second contrôle, exact : ${\left(\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)}^2=\frac{(8+4\sqrt{3})+(8-4\sqrt{3})}{16}=1$ — la relation ${\cos }^2+{\sin }^2=1$ est vérifiée.

Piège : intervertir les deux formules et attribuer $\sqrt{6}-\sqrt{2}$ au cosinus. Le repère : $\frac{\pi }{12}=15°$ est un petit angle, son cosinus est proche de $1$ et son sinus proche de $0$ — c'est donc la plus grande des deux valeurs qui est le cosinus.