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Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques (première), chapitre 7 — Fonctions trigonométriques · Équations et inéquations

Énoncé

Résoudre dans $[0; 2 π [$ l'équation $2 cos^{2} x - cos x - 1 = 0$ . (Poser $X = cos x$ ; ne retenir ensuite que les valeurs de $X$ comprises entre $- 1$ et $1$ .)

Corrigé

Posons $X = cos x$ : l'équation devient $2 X^{2} - X - 1 = 0$ , de discriminant $Δ = 1 + 8 = 9$ , donc

$X = \frac{1 \pm 3}{4} : X = 1 ou X = - \frac{1}{2} .$

Les deux valeurs appartiennent à $[- 1; 1]$ : toutes deux sont acceptables — c'est le contrôle à ne pas sauter, car une racine hors de $[- 1; 1]$ serait à écarter, $cos x$ ne pouvant la prendre.

$cos x = 1$ : sur $[0; 2 π [$ , $x = 0$ ;
$cos x = - \frac{1}{2}$ : $x = \frac{2 π}{3}$ ou $x = \frac{4 π}{3}$ .

Donc $S = {0; \frac{2 π}{3}; \frac{4 π}{3}}$ .

Contrôle en $x = \frac{2 π}{3}$ : $2 \times \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - 1 = 0$ . ✓

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.