n° 206

Exercice supplémentaire · niveau 3 (difficile) · mathématiques (première), chapitre 7 — Fonctions trigonométriques · Équations générales, tangente et signaux

Énoncé

Résoudre dans $R$ l'équation $cos (2 x) = cos (x + \frac{π}{3})$ . (Deux angles ont même cosinus s'ils sont égaux ou opposés, à un multiple de $2 π$ près : cela donne deux familles de solutions.)

Corrigé

Deux réels ont même cosinus si et seulement si ils sont égaux ou opposés, à un multiple de $2 π$ près :

$cos u = cos v ⟺ u = v + 2 k π ou u = - v + 2 k π, k \in Z .$

Appliquons-le à $u = 2 x$ et $v = x + \frac{π}{3}$ .

Première famille. $2 x = x + \frac{π}{3} + 2 k π ⟺ x = \frac{π}{3} + 2 k π$ .

Seconde famille. $2 x = - x - \frac{π}{3} + 2 k π ⟺ 3 x = - \frac{π}{3} + 2 k π ⟺ x = - \frac{π}{9} + \frac{2 k π}{3}$ .

L'ensemble des solutions est la réunion des deux familles.

Contrôle sur $x = - \frac{π}{9}$ : $2 x = - \frac{2 π}{9}$ et $x + \frac{π}{3} = - \frac{π}{9} + \frac{3 π}{9} = \frac{2 π}{9}$ . Ces deux réels sont opposés, ils ont donc bien même cosinus. ✓

Piège : diviser par $2 k π$ « en simplifiant » dans la seconde famille et écrire $x = - \frac{π}{9} + 2 k π$ . C'est le coefficient $3$ devant $x$ qui divise aussi le pas des tours : celui-ci devient $\frac{2 π}{3}$ .

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.