On sait que cos x = 2/3 avec x ∈ ] -π/2 ; 0 [. Calculer sin x, puis…

De ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$ on tire ${\sin }^{2}x=1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}$, donc $\sin x=\pm \frac{\sqrt{5}}{3}$.

Le signe se lit sur le quadrant : $x\in \left]-\frac{\pi }{2};0\right[$ place $M(x)$ dans le quatrième quadrant, où l'ordonnée est négative. Donc

$$\sin x=-\frac{\sqrt{5}}{3}\approx -0,745.$$

Puis, par les angles associés :

$$\sin (\pi -x)=\sin x=-\frac{\sqrt{5}}{3},\cos (\pi +x)=-\cos x=-\frac{2}{3}.$$

Piège : croire que $\sin (\pi -x)$ est positif « puisque $\pi -x$ est dans le deuxième quadrant ». Ici $x$ est négatif, donc $\pi -x>\pi$ : le raisonnement par quadrant sur $\pi -x$ demanderait de la prudence, alors que la formule $\sin (\pi -x)=\sin x$, elle, est valable pour tout $x$.