Résoudre dans: (a); (b); (c)

(a) $\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Sur le cercle, deux points ont cette abscisse, symétriques par rapport à l'axe des abscisses : $x=\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}$ et $x=\pi +\frac{\pi }{6}=\frac{7\pi }{6}$.

(b) $\sin x=\frac{1}{2}$ : $x=\frac{\pi }{6}$ et $x=\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}$.

(c) Posons $X=2x$. Quand $x$ décrit $\left[0;2\pi \right[$, $X$ décrit $\left[0;4\pi \right[$ : il faut donc chercher les solutions de $\cos X=\frac{1}{2}$ sur deux tours. Ce sont $X=\frac{\pi }{3}$, $\frac{5\pi }{3}$, $\frac{7\pi }{3}$ et $\frac{11\pi }{3}$, d'où

$$x\in \left\{\frac{\pi }{6};\frac{5\pi }{6};\frac{7\pi }{6};\frac{11\pi }{6}\right\}.$$

Contrôle : la fonction $x\mapsto \cos (2x)$ est de période $\pi$ ; il est normal de trouver deux fois plus de solutions que pour $\cos x=\frac{1}{2}$.