Résoudre dans: (a); (b); (c) — exercice corrigé de maths première (chapitre 7)

Résoudre dans: (a); (b); (c)

Fonctions trigonométriques · Équations et inéquations trigonométriques · niveau 2

Énoncé

Résoudre dans $[0; 2 π [$ : (a) $2 cos x + 3 = 0$ ; (b) $2 sin x = 1$ ; (c) $cos (2 x) = \frac{1}{2}$ .

Corrigé

(a) $cos x = - \frac{3}{2}$ . Sur le cercle, deux points ont cette abscisse, symétriques par rapport à l'axe des abscisses : $x = π - \frac{π}{6} = \frac{5 π}{6}$ et $x = π + \frac{π}{6} = \frac{7 π}{6}$ .

(b) $sin x = \frac{1}{2}$ : $x = \frac{π}{6}$ et $x = π - \frac{π}{6} = \frac{5 π}{6}$ .

(c) Posons $X = 2 x$ . Quand $x$ décrit $[0; 2 π [$ , $X$ décrit $[0; 4 π [$ : il faut donc chercher les solutions de $cos X = \frac{1}{2}$ sur deux tours. Ce sont $X = \frac{π}{3}$ , $\frac{5 π}{3}$ , $\frac{7 π}{3}$ et $\frac{11 π}{3}$ , d'où

$x \in {\frac{π}{6}; \frac{5 π}{6}; \frac{7 π}{6}; \frac{11 π}{6}} .$

Contrôle : la fonction $x \mapsto cos (2 x)$ est de période $π$ ; il est normal de trouver deux fois plus de solutions que pour $cos x = \frac{1}{2}$ .