Une grande roue de m de diamètre tourne à vitesse constante

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mathématiques (première), chapitre 7 — Fonctions trigonométriques · Fonctions périodiques, modèles et approximations

Énoncé

Une grande roue de $50$ m de diamètre tourne à vitesse constante ; une nacelle fait un tour en $20$ minutes. Sa hauteur au-dessus du sol, en mètres, après $t$ minutes, est

$h (t) = 30 - 25 cos (\frac{π t}{10}) .$

Vérifier que $h$ est périodique de période $20$ minutes.
Déterminer la hauteur minimale et la hauteur maximale, ainsi que les instants où elles sont atteintes sur un tour.
À quels instants du premier tour la nacelle est-elle à $30$ m ?

Corrigé

1. $h (t + 20) = 30 - 25 cos (\frac{π t}{10} + 2 π) = h (t)$ , par périodicité du cosinus : la période est bien $20$ minutes — le temps d'un tour.

2. Comme $- 1 \leq cos \leq 1$ , on a $5 \leq h (t) \leq 55$ . Le minimum $5$ m est atteint quand $cos (\frac{π t}{10}) = 1$ , soit $\frac{π t}{10} = 0$ ou $2 π$ : à $t = 0$ et $t = 20$ minutes. Le maximum $55$ m correspond à $cos = - 1$ , soit $\frac{π t}{10} = π$ : à $t = 10$ minutes.

3. $h (t) = 30 ⟺ cos (\frac{π t}{10}) = 0$ , ce qui a lieu pour $\frac{π t}{10} = \frac{π}{2}$ ou $\frac{3 π}{2}$ sur le premier tour : $t = 5$ et $t = 15$ minutes.

Contrôle : le point le plus bas est à $30 - 25 = 5$ m et le plus haut à $30 + 25 = 55$ m : l'écart vaut $50$ m, le diamètre annoncé. ✓

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