mathématiques (première) · Chapitre 8 · Exercice de TD

Dans un repère orthonormé, on donne

Calcul vectoriel et produit scalaire · Longueurs et angles dans le triangle · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Dans un repère orthonormé, on donne $A (0; 0)$ , $B (6; 0)$ , $C (2; 4)$ .

Calculer les coordonnées du centre de gravité $G$ , et vérifier $G A + GB + GC = 0$ .
Déterminer le centre $O$ du cercle circonscrit (équidistant de $A$ , $B$ , $C$ ), puis l'orthocentre $H$ par $O H = O A + O B + O C$ .
Vérifier que $O$ , $G$ , $H$ sont alignés (droite d'Euler).

Corrigé de la question 1

1. $G (\frac{0 + 6 + 2}{3}; \frac{0 + 0 + 4}{3}) = (\frac{8}{3}; \frac{4}{3})$ ; la somme des trois vecteurs $G A + GB + GC$ a pour coordonnées $(0 + 6 + 2 - 3 \times \frac{8}{3}; 0 + 0 + 4 - 3 \times \frac{4}{3}) = (0; 0)$ ✓.

Question 2 : comment l'IA t'aide

2. Déterminer le centre $O$ du cercle circonscrit (équidistant de $A$ , $B$ , $C$ ), puis l'orthocentre $H$ par $O H = O A + O B + O C$ .

Élève

Pour $O$ , je prends le milieu de $[A B]$ , donc $O (3; 0)$ ?

Le milieu de $[A B]$ est bien à égale distance de $A$ et de $B$ … mais l'est-il aussi de $C$ ? Calcule $O A$ et $O C$ avec ce point pour vérifier.

Élève

$O A = 3$ et $O C = 1 + 16 = 17$ . Ce n'est pas pareil.

Exact : il faut donc chercher $O (x; y)$ sans le deviner. Quelle équation traduit $O A^{2} = O B^{2}$ , et que t'apprend-elle sur $x$ ? Que donne ensuite $O A^{2} = O C^{2}$ pour $y$ ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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