Dans un repère orthonormé, on donne

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mathématiques (première), chapitre 8 — Calcul vectoriel et produit scalaire · Longueurs et angles dans le triangle

Énoncé

Dans un repère orthonormé, on donne $A (0; 0)$ , $B (6; 0)$ , $C (2; 4)$ .

Calculer les coordonnées du centre de gravité $G$ , et vérifier $G A + GB + GC = 0$ .
Déterminer le centre $O$ du cercle circonscrit (équidistant de $A$ , $B$ , $C$ ), puis l'orthocentre $H$ par $O H = O A + O B + O C$ .
Vérifier que $O$ , $G$ , $H$ sont alignés (droite d'Euler).

Corrigé

1. $G (\frac{0 + 6 + 2}{3}; \frac{0 + 0 + 4}{3}) = (\frac{8}{3}; \frac{4}{3})$ ; la somme des trois vecteurs $G A + GB + GC$ a pour coordonnées $(0 + 6 + 2 - 3 \times \frac{8}{3}; 0 + 0 + 4 - 3 \times \frac{4}{3}) = (0; 0)$ ✓.<br> 2. $O (x; y)$ vérifie $O A^{2} = O B^{2}$ : $x^{2} = (x - 6)^{2}$ donne $x = 3$ ; et $O A^{2} = O C^{2}$ : $9 + y^{2} = 1 + (y - 4)^{2}$ donne $8 y = 8$ , $y = 1$ . Donc $O (3; 1)$ , et $O H = O A + O B + O C = (- 3 - 1) + (3 - 1) + (- 1 3) = (- 1 1)$ : $H (2; 2)$ .<br> 3. $O G = (- \frac{1}{3} \frac{1}{3})$ et $O H = (- 1 1) = 3 O G$ : les trois points sont alignés, avec le rapport $3$ de la droite d'Euler. ✓

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