mathématiques (première) · Chapitre 8 · Application directe du cours

Dans un triangle,, et

Calcul vectoriel et produit scalaire · Al-Kashi et longueurs · niveau 2

Énoncé

Dans un triangle $A B C$ , $A B = 3$ , $A C = 5$ et $B C = 7$ .

Démontrer que $A B \cdot A C = \frac{A B ^{2} + A C ^{2} - B C ^{2}}{2}$ .
En déduire $A B \cdot A C$ , puis la valeur exacte de $A$ .

Corrigé

1. $B C = A C - A B$ , donc $B C^{2} = A C^{2} - 2 A B \cdot A C + A B^{2}$ , ce qui donne la formule annoncée (c'est Al-Kashi, écrit avec le produit scalaire).

2. $A B \cdot A C = \frac{9 + 25 - 49}{2} = - \frac{15}{2}$ . Puis

$cos A = \frac{- 15/2}{3 \times 5} = - \frac{1}{2}, A = 120°.$

Contrôle : le produit scalaire est négatif, l'angle doit être obtus — il l'est.

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