Dans un triangle, on donne, et

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mathématiques (première), chapitre 8 — Calcul vectoriel et produit scalaire · Longueurs et angles dans le triangle

Énoncé

Dans un triangle $A B C$ , on donne $A B = 5$ , $A C = 8$ et $A = 60°$ . On note $A^{'}$ le milieu de $[B; C]$ .

Calculer $A B \cdot A C$ , puis la longueur $B C$ .
Calculer l'aire du triangle.
Calculer la longueur de la médiane $A A^{'}$ .

Corrigé

1. $A B \cdot A C = 5 \times 8 \times cos 60° = 40 \times \frac{1}{2} = 20$ . Par Al-Kashi,

$B C^{2} = 25 + 64 - 2 \times 20 = 49, B C = 7.$

2. L'aire vaut $\frac{1}{2} A B \times A C \times sin A = \frac{1}{2} \times 40 \times \frac{3}{2} = 103 \approx 17, 3$ .

3. $A^{'}$ étant le milieu, $A A^{'} = \frac{1}{2} (A B + A C)$ . En prenant le carré scalaire :

$A A^{'2} = \frac{1}{4} (A B^{2} + 2 A B \cdot A C + A C^{2}) = \frac{25 + 40 + 64}{4} = \frac{129}{4},$

donc $A A^{'} = \frac{129}{2} \approx 5, 68$ .

Contrôle par le théorème de la médiane ( $A B^{2} + A C^{2} = 2 A A^{'2} + \frac{B C ^{2}}{2}$ ) : $2 \times \frac{129}{4} + \frac{49}{2} = 64, 5 + 24, 5 = 89 = 25 + 64$ . ✓

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