Dans un triangle, on donne, et

1. $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=5\times 8\times \cos 60°=40\times \frac{1}{2}=20$. Par Al-Kashi,

$$B{C}^2=25+64-2\times 20=49,BC=7.$$

2. L'aire vaut $\frac{1}{2}AB\times AC\times \sin \hat{A}=\frac{1}{2}\times 40\times \frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}\approx 17,3$.

3. $A^{\prime }$ étant le milieu, $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$. En prenant le carré scalaire :

$$A{A}^{\prime 2}=\frac{1}{4}\left(A{B}^2+2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}+A{C}^2\right)=\frac{25+40+64}{4}=\frac{129}{4},$$

donc $A{A}^{\prime }=\frac{\sqrt{129}}{2}\approx 5,68$.

Contrôle par le théorème de la médiane ($A{B}^2+A{C}^2=2A{A}^{\prime 2}+\frac{B{C}^2}{2}$) : $2\times \frac{129}{4}+\frac{49}{2}=64,5+24,5=89=25+64$. ✓