Deux vecteurs vérifient, et forment un angle de

Produit scalaire, par la formule du cosinus, avec $\cos 120°=-\frac{1}{2}$ :

$$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=4\times 7\times \left(-\frac{1}{2}\right)=-14.$$

Le signe négatif était prévisible : l'angle est obtus.

Norme de la somme, en développant le carré scalaire :

$${\Vert \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\Vert }^2={\Vert \overrightarrow{u}\Vert }^2+2\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}+{\Vert \overrightarrow{v}\Vert }^2=16+2\times (-14)+49=16-28+49=37,$$

donc $\Vert \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\Vert =\sqrt{37}\approx 6,08$.

Contrôle : l'inégalité triangulaire impose $\Vert \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\Vert \le 4+7=11$, et la différence des normes donne $\Vert \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\Vert \ge 7-4=3$. Or $3\le 6,08\le 11$. ✓

Piège : écrire $\Vert \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\Vert =\Vert \overrightarrow{u}\Vert +\Vert \overrightarrow{v}\Vert =11$. Les normes ne s'additionnent que si les vecteurs sont de même sens ; ici, l'angle de $120°$ fait « perdre » beaucoup de longueur.