n° 100

En base orthonormée, $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=x{x}^{\prime }+y{y}^{\prime }$ et $\Vert \overrightarrow{u}\Vert =\sqrt{x^2+y^2}$ :

$$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=3\times 2+(-1)\times 6=6-6=0,\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{w}=3\times (-4)+(-1)\times 5=-17,$$

$$\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{w}=2\times (-4)+6\times 5=-8+30=22,$$

$$\Vert \overrightarrow{u}\Vert =\sqrt{9+1}=\sqrt{10},\Vert \overrightarrow{v}\Vert =\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}.$$

Seuls $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux, puisque seul leur produit scalaire est nul. Les produits $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{w}$ et $\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{w}$ sont de signes contraires : l'angle $(\overrightarrow{u},\overrightarrow{w})$ est obtus, l'angle $(\overrightarrow{v},\overrightarrow{w})$ est aigu.

Contrôle : $\overrightarrow{v}=2\left(\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}3\\ -1\end{array}\right)$ : les coordonnées sont bien « échangées et une signée », signature de deux vecteurs orthogonaux. ✓