n° 102

Plaçons-nous dans le repère orthonormé $\left(A;\frac{1}{a}\overrightarrow{AB},\frac{1}{a}\overrightarrow{AD}\right)$ : alors

$$A(0;0),B(a;0),C(a;a),D(0;a),O\left(\frac{a}{2};\frac{a}{2}\right).$$

Les quatre calculs se règlent en coordonnées :

$$\overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}a\\ 0\end{array}\right),\overrightarrow{AC}\left(\begin{array}{c}a\\ a\end{array}\right),\overrightarrow{BD}\left(\begin{array}{c}-a\\ a\end{array}\right),\overrightarrow{AO}\left(\begin{array}{c}a/2\\ a/2\end{array}\right),\overrightarrow{CD}\left(\begin{array}{c}-a\\ 0\end{array}\right).$$

$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=a^2+0=a^2,\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BD}=-a^2+0=-a^2,$$

$$\overrightarrow{AO}\cdot \overrightarrow{AC}=\frac{a^2}{2}+\frac{a^2}{2}=a^2,\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}=-a^2+0=-a^2.$$

Contrôles par la géométrie, sans coordonnées :

• $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=AB\times AB=a^2$, car le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$ est $B$ ;
• $\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AO}$, donc $\overrightarrow{AO}\cdot \overrightarrow{AC}=2A{O}^2=2\times \frac{a^2}{2}=a^2$ — même résultat ;
• $\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}$, donc $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}=-A{B}^2=-a^2$.

Erreur attendue : confondre $\overrightarrow{CD}$ et $\overrightarrow{DC}$, ou $\overrightarrow{BD}$ et $\overrightarrow{DB}$ — le signe du produit scalaire en dépend entièrement.