mathématiques (première) · Chapitre 8 · Exercice d'entraînement

n° 102

Calcul vectoriel et produit scalaire · Produits scalaires et angles · niveau 2

Énoncé

$A B C D$ est un carré de côté $a$ , de centre $O$ . Calculer, en fonction de $a$ : $A B \cdot A C$ , $A B \cdot B D$ , $A O \cdot A C$ et $A B \cdot C D$ . (Se placer dans un repère orthonormé d'origine $A$ , d'axes portés par $(A B)$ et $(A D)$ : alors $B (a; 0)$ et $D (0; a)$ , et les quatre calculs se règlent d'un coup.)

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Élève

Il y a quatre produits scalaires à calculer avec des points d'un carré. Je ne vois pas par où commencer : je dois les faire un par un avec les longueurs et les angles ?

Tu peux, mais l'énoncé te souffle une autre voie. Relis l'indication entre parenthèses : quel repère propose-t-elle, et quelles coordonnées obtient-on alors pour $A$ , $B$ et $D$ ?

Élève

Un repère orthonormé d'origine $A$ , avec les axes portés par $(A B)$ et $(A D)$ . Donc $A (0; 0)$ , $B (a; 0)$ et $D (0; a)$ . Mais il me manque $C$ et $O$ pour les autres vecteurs.

Bien. Dans ce repère, comment se lit le déplacement de $A$ vers $C$ en passant par $B$ puis par $D$ ? Et $O$ , centre du carré, où se situe par rapport à $A$ et $C$ ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. Le corrigé de cet exercice n'est pas publié : à toi de continuer.

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