n° 206

Exercice supplémentaire · niveau 3 (difficile) · mathématiques (première), chapitre 8 — Calcul vectoriel et produit scalaire · Vers l'espace et la terminale

Énoncé

$A B C D E F G H$ est un cube d'arête $1$ , et $G$ le sommet opposé à $A$ . En repérant l'espace par $(A; A B, A D, A E)$ , calculer $A G \cdot A B$ , puis l'angle entre la grande diagonale $(A G)$ et l'arête $(A B)$ , au dixième de degré près.

Corrigé

Dans le repère $(A; A B, A D, A E)$ , orthonormé puisque le cube a des arêtes de longueur $1$ deux à deux perpendiculaires :

$B (1; 0; 0), D (0; 1; 0), E (0; 0; 1), G (1; 1; 1),$

car la grande diagonale s'écrit $A G = A B + A D + A E$ .

Alors

$A G \cdot A B = 1 \times 1 + 1 \times 0 + 1 \times 0 = 1, A G = 1 + 1 + 1 = 3, A B = 1.$

D'où

$cos θ = \frac{1}{3} \approx 0, 5774, θ \approx 54, 7°.$

Contrôle : le résultat ne dépend pas de l'arête choisie — $A G \cdot A D$ et $A G \cdot A E$ valent également $1$ . La grande diagonale fait le même angle avec les trois arêtes issues de $A$ , comme la symétrie du cube l'exige. ✓

À retenir : $3 \approx 1, 73$ est la longueur de la grande diagonale d'un cube d'arête $1$ — l'analogue spatial de la diagonale $2$ du carré.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.