Un randonneur part de A, parcourt 5 km en ligne droite jusqu'à B, puis…

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques (première), chapitre 8 — Calcul vectoriel et produit scalaire · Al-Kashi et problèmes concrets

Énoncé

Un randonneur part de $A$ , parcourt $5$ km en ligne droite jusqu'à $B$ , puis change de cap de $70°$ et parcourt $8$ km jusqu'à $C$ . À quelle distance de son point de départ se trouve-t-il ? ( $cos 110° \approx - 0, 342$ .) (Attention : l'angle du triangle en $B$ n'est pas $70°$ mais son supplémentaire — faire une figure avant tout calcul.)

Corrigé

Figure d'abord. Le randonneur arrive en $B$ en suivant la direction $A B$ , puis « change de cap de $70°$ » : c'est la direction de marche qui tourne de $70°$ , non l'angle du triangle. Dans le triangle $A B C$ , l'angle en $B$ est l'angle $A B C$ entre $B A$ (d'où il vient) et $B C$ (où il va) : c'est le supplémentaire du changement de cap,

$B = 180° - 70° = 110°.$

Al-Kashi dans le triangle $A B C$ , l'angle $B$ étant compris entre les côtés $B A = 5$ et $B C = 8$ :

$A C^{2} = 5^{2} + 8^{2} - 2 \times 5 \times 8 \times cos 110° = 25 + 64 - 80 \times (- 0, 342) = 89 + 27, 36 = 116, 36,$

$A C = 116, 36 \approx 10, 8 km .$

Contrôle : en marchant tout droit, il serait à $5 + 8 = 13$ km ; en revenant sur ses pas, à $8 - 5 = 3$ km. La distance trouvée, $10, 8$ km, est comprise entre les deux et proche de la première — cohérent avec un cap peu dévié. ✓

Le piège, nommé : prendre $B = 70°$ donnerait $A C^{2} = 89 - 80 \times 0, 342 \approx 61, 6$ , soit $A C \approx 7, 8$ km — moins que les $8$ km du second segment, ce qui est absurde pour une marche qui s'éloigne.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.