Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal de P(5 ; 1) sur la…

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques (première), chapitre 9 — Géométrie repérée · Droites, vecteurs normaux et distances

Énoncé

Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal de $P (5; 1)$ sur la droite $D : 2 x + y - 3 = 0$ , puis la distance de $P$ à $D$ .

Corrigé

La droite $D$ a pour vecteur normal $n (21)$ . La perpendiculaire à $D$ passant par $P$ a donc $n$ pour directeur, et par conséquent $(- 1 2)$ pour normal. Son équation : $- (x - 5) + 2 (y - 1) = 0$ , soit $- x + 2 y + 3 = 0$ . Système : $x = 2 y + 3$ reporté dans $2 x + y - 3 = 0$ : $5 y + 3 = 0$ , $y = - \frac{3}{5}$ , $x = \frac{9}{5}$ . Donc $H (\frac{9}{5}; - \frac{3}{5})$ et

$P H = (5 - \frac{9}{5})^{2} + (1 + \frac{3}{5})^{2} = \frac{256}{25} + \frac{64}{25} = \frac{8 5}{5} .$

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