Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal de P(5 ; 1) sur la…

La droite $\mathcal{D}$ a pour vecteur normal $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)$. La perpendiculaire à $\mathcal{D}$ passant par $P$ a donc $\overrightarrow{n}$ pour directeur, et par conséquent $\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right)$ pour normal. Son équation : $-(x-5)+2(y-1)=0$, soit $-x+2y+3=0$. Système : $x=2y+3$ reporté dans $2x+y-3=0$ : $5y+3=0$, $y=-\frac{3}{5}$, $x=\frac{9}{5}$. Donc $H\left(\frac{9}{5};-\frac{3}{5}\right)$ et

$$PH=\sqrt{{\left(5-\frac{9}{5}\right)}^2+{\left(1+\frac{3}{5}\right)}^2}=\sqrt{\frac{256}{25}+\frac{64}{25}}=\frac{8\sqrt{5}}{5}.$$