Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal de P(7 ; 6) sur la…

Le vecteur $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$ est normal à $\mathcal{D}$, donc directeur de la droite $(PH)$. Un vecteur normal de $(PH)$ est $\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\end{array}\right)$, et $(PH)$ passe par $P(7;6)$ :

$$-2(x-7)+(y-6)=0⟺-2x+y+8=0.$$

On résout le système : $y=2x-8$ reporté dans $x+2y-4=0$ donne $x+4x-16-4=0$, soit $5x=20$, $x=4$ et $y=0$. Donc

$$H(4;0),PH=\sqrt{(7-4{)}^2+(6-0{)}^2}=\sqrt{9+36}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}\approx 6,71.$$

Contrôle (seconde méthode). $H$ appartient bien à $\mathcal{D}$ : $4+0-4=0$ ✓, et $\overrightarrow{PH}\left(\begin{array}{c}-3\\ -6\end{array}\right)$ est colinéaire à $\overrightarrow{n}$ ✓. Enfin la formule de l'exercice supplémentaire correspondant donne $\frac{|7+2\times 6-4|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{15}{\sqrt{5}}=3\sqrt{5}$ : les deux calculs concordent.