Le cercle coupe-t-il l'axe des abscisses

Axe des abscisses ($y=0$). $(x-3{)}^2+1=10$, soit $(x-3{)}^2=9$, donc $x-3=\pm 3$ : les points $(0;0)$ et $(6;0)$.

Axe des ordonnées ($x=0$). $9+(y+1{)}^2=10$, soit $(y+1{)}^2=1$, donc $y=0$ ou $y=-2$ : les points $(0;0)$ et $(0;-2)$.

Le cercle coupe donc les deux axes, et il passe par l'origine — ce que confirme $\Omega O=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}=r$. ✓

Contrôle par les distances. La distance de $\Omega (3;-1)$ à l'axe des abscisses vaut $|-1|=1$ et à l'axe des ordonnées $|3|=3$ : toutes deux strictement inférieures au rayon $\sqrt{10}\approx 3,16$, d'où deux points d'intersection dans chaque cas. ✓