Longueur de la tangente (puissance d'un point, hors programme)

Exercice supplémentaire · niveau 3 (difficile) · mathématiques (première), chapitre 9 — Géométrie repérée · Cercles, tangentes et coniques

Énoncé

Longueur de la tangente (puissance d'un point, hors programme). Soit $C$ le cercle de centre $Ω$ et de rayon $r$ , et $P$ un point extérieur. Montrer que la longueur $P T$ de la tangente menée de $P$ vérifie $P T^{2} = P Ω^{2} - r^{2}$ . Appliquer à $C : x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 4 = 0$ et $P (6; 7)$ . (Le triangle $Ω T P$ est rectangle en $T$ .)

Corrigé

Démonstration. La tangente en $T$ est perpendiculaire au rayon $[Ω; T]$ : le triangle $Ω T P$ est rectangle en $T$ . Le théorème de Pythagore donne $P Ω^{2} = P T^{2} + Ω T^{2} = P T^{2} + r^{2}$ , d'où

$P T^{2} = P Ω^{2} - r^{2} .$

(La quantité $P Ω^{2} - r^{2}$ s'appelle la puissance de $P$ par rapport au cercle ; elle est positive exactement lorsque $P$ est extérieur.)

Application. $x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 4 = 0$ s'écrit $(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 1 + 4 + 4 = 9$ : $Ω (1; 2)$ et $r = 3$ . Pour $P (6; 7)$ :

$P Ω^{2} = 25 + 25 = 50, P T^{2} = 50 - 9 = 41, P T = 41 \approx 6, 40.$

( $P$ est bien extérieur : $P Ω = 50 \approx 7, 07 > 3$ .)

Contrôle, et une jolie remarque : il suffit de substituer les coordonnées de $P$ au premier membre de l'équation du cercle :

$6^{2} + 7^{2} - 2 \times 6 - 4 \times 7 - 4 = 36 + 49 - 12 - 28 - 4 = 41 = P T^{2} .$

Ce n'est pas un hasard : $x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 4 = (x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} - 9$ , qui vaut $P Ω^{2} - r^{2}$ au point $P$ . ✓

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